4.1 La combinatoria, ars magna

Nel pensiero del Seicento la combinatoria e gli studi ad essa relativi occuparono un posto non secondario: [103] l’ars combinatoria era considerata estremamente utile in quanto consentiva di numerare tutti i modi in cui un insieme di elementi poteva essere mescolato, ordinato o sottoposto a selezione.[104] Le considerazioni di carattere matematico erano largamente strumentali ai progetti di fondazione di una enciclopedia del sapere intesa non tanto come catalogo alfabetico delle conoscenze, quanto come sistemazione di dette conoscenze in una compagine che, rispecchiando in sè l’ordine dell’universo, assumesse valenze cosmologiche: l’arte combinatoria veniva quindi ad essere interpretata come strumento per collegare fra loro tutte le parti dello scibile.[105] Il gesuita Kircher fu uno dei più celebri esponenti di tale tradizione enciclopedistico-combinatoria, la quale, niente affatto secondaria nella storia della cultura del suo Ordine, si muoveva nella cornice del neoplatonismo rinascimentale subendo le suggestioni perenni dell’ermetismo, [106] all’interno di una ripresa del lullismo e dell’ars memoriae. [107]

Kircher dedicò alla combinatoria un’opera pubblicata ad Amsterdam nel 1669: l’Ars Magna Sciendi sive combinatoria. [108] Sulle tracce di Raimondo Lullo [109] egli ricercò le vestigia di un linguaggio universale che, attraverso le più complesse operazioni combinatorie, consentisse di individuare una via per risalire al divino archetipo. Non gli furono indifferenti le speculazioni combinatorie dei cabalisti, alla cui base stava la convinzione che l’intera sequenza di lettere della Torah nascondesse (infinito anagramma) il vero nome di Dio. [110]

4.2 Osservazioni generali

Kircher dichiarò più volte nel corso dell’esposizione che il segreto della musurgia mirifica consisteva in un peculiare uso della combinatoria. Non solo le tecniche combinatorie avevano presieduto alla preparazione delle sequenze di accordi fornite in partenza ed erano garanti della loro varietà: la segreta forza della combinatoria avrebbe fatto sì che anche dal successivo assemblaggio scaturissero sempre nuove catene di accordi. Era un modo di comporre che, a detta di Kircher, evitava intrinsecamente la monotonia. Come abbiamo visto nel capitolo precedente, nell’ambito della musurgia mirifica il comporre consiste in un assemblaggio di sequenze di accordi: una volta scelto un numero anche limitato di accordi, era la potenzialità insita nelle pratiche combinatorie ad assicurare l’ottenimento di una quantità enorme di sequenze sempre diverse, suscettibili di essere ulteriormente legate le une alle altre evitando in ogni caso le ripetizioni. Si trattava di un fenomeno sbalorditivo.

Invero non era un argomento del tutto nuovo: già Marin Mersenne, chiedendosi "come si possa scrivere la miglior melodia possibile" [111] suggeriva che l’unico metodo infallibile sarebbe stato quello di utilizzare la combinatoria per scrivere tutte le melodie realizzabili stante il numero di note che si voleva impiegare, discernendo poi la migliore fra tutte. Altri avevano pensato di applicare tali tecniche alla letteratura: l’allievo di Kircher, Caspar Schott, a pagina 614 del II tomo della sua Magia Universalis, [112] espose brevemente ma con assoluta serietà un progetto di biblioteca che contenesse tutti i possibili libri ottenuti combinando in tutti i modi le lettere dell’alfabeto. Schott aveva preso le mosse da un’idea del matematico gesuita Clavius: [113] toccò a Jorge Luis Borges il compito di darle il nome di biblioteca di Babele, nell’omonimo racconto ospitato nella raccolta Finzioni.

La combinatoria stupiva per la intrinseca dote di generare immense quantità di mutationes partendo da un limitato insieme di elementi, quantità che crescevano poi vertiginosamente incrementando anche di una sola unità gli elementi di partenza: le permutazioni (in parole povere: i possibili anagrammi) di una parola di sei lettere diverse sono 720; per una parola di sette sono 5.040; con otto lettere arriviamo a 40.320 possibili diverse combinazioni. Le ventun lettere dell’alfabeto italiano possono essere disposte in più di cinquantun milioni di milioni di milioni di modi diversi: un lettore che ne scorresse dieci al secondo impiegherebbe centosessantamila milioni di anni per esaurire il proprio compito. E le permutazioni costituiscono il procedimento più elementare dell’ars combinandi!

Nella "Musurgia Combinatoria" (MU B 3-27) Kircher mantenne in secondo piano la visione universalistica ed enciclopedica della combinatoria, prediligendo invece una trattazione in termini puramente matematici, esponendo i vari tipi di manipolazioni e formulando le regole che consentivano di calcolare il numero delle combinazioni ottenibili con esse. Questa parte volle essere, a mio giudizio, un saggio di erudizione la cui funzione era quella di porre una sorta di ipoteca sul risultato finale dell’intero VIII libro: mostrando la magna vis della combinatoria Kircher avrebbe voluto dimostrare tout court la potenza della sua nuova tecnica compositiva.

La "Musurgia Combinatoria" deriva interamente dalle sezioni della Harmonie Universelle di Mersenne dedicate al problema della combinatoria: [114] Kircher ne riprende le esposizioni, omettendo peraltro i problemi più complessi e dimostrando, in numerosi casi, [115] di avere interpretato male le affermazioni della propria fonte. Molte tabelle numeriche sono state copiate integralmente, errori compresi.

La struttura della "Musurgia Combinatoria" segue uno svolgimento dalla struttura didascalica: dopo due "Lemmi" introduttivi essa è divisa in due ampi capitoli, ciascuno dei quali si articola in sei "Problemi" di difficoltà progressiva. Kircher non espose le formule applicate per eseguire i calcoli, cosa che avrebbe messo il lettore nella condizione di poter risolvere propri personali quesiti di calcolo combinatorio, ma si limitò ad esporre alcune tabelle numeriche che fornivano le serie di risultati ottenibili con numeri più o meno limitati di elementi. Queste come è ovvio non coprivano assolutamente tutti i casi possibili, ma solo una piccola parte.

Tutta la "Musurgia Combinatoria" è disseminata da una discreta quantità di errori, [116] soprattutto nelle tavole numeriche: come vedremo, talvolta lo sbaglio è alla fonte mentre in altri casi si tratti di refusi. Certo l’esame del materiale non ne è stato facilitato, e addirittura in alcuni casi (che evidenzieremo) è stato praticamente impossibile.

4.3 Lemma I Musurgicus e Lemma II

Si tratta di un approccio generale alla materia: attraverso vari esempi e con l’uso di due tabelle Kircher espone i caratteri generali della permutazione degli elementi di un insieme, dapprima senza e poi con ripetizioni. [117] Nel calcolo delle permutazioni si tratta di scoprire quante volte un numero n di elementi può essere variamente ordinato: il risultato naturalmente cambia se gli elementi sono tutti diversi fra loro oppure alcuni sono uguali fra loro. Nel caso di un insieme con elementi tutti diversi il numero delle permutazioni possibili è dato dal prodotto fattoriale del numero degli elementi (Pn=n!), cioè dal prodotto di tutti i numeri interi da 1 fino al quel numero: mentre nel caso di insiemi con elementi che si ripetono il risultato è dato dal quoziente fra il prodotto fattoriale del numero complessivo degli elementi e il prodotto fattoriale del numero degli elementi uguali: Pn=n!/k! (dove n indica il numero degli elementi permutati e k il numero degli elementi uguali).

La "Tabula I Combinatoria" (MU B 5) riporta il numero delle permutazioni per insiemi composti da un numero di elementi che va da 1 a 24, ed è sicuramente copiata dall’ Harmonie Universelle ,[118] per di più senza troppa attenzione. Infatti sono state trascritte senza modifiche anche le cifre errate presenti nella tavola di Mersenne e da lui successivamente corrette. [119] La "Tabula II Combinatoria" espone invece il numero di alcuni casi di permutazioni con ripetizioni (MU B 7). [120]

4.4 Caput I. De Notarum Combinationibus

Il primo capitolo della "Musurgia Combinatoria" si snoda attraverso sei esempi pratici: viene mostrato in che modo e in che misura si possano permutare e variare gruppi di note.

Il quesito proposto nel "Problema I" è: "Data voce quotcumque notarum, quoties illa intra certum intervallum mutari possit, invenire" (MU B 8). Si tratta del caso più semplice di permutazione, già esaminato nel "Lemma I". Kircher mostra le 24 possibili permutazioni di un insieme di 4 note diverse. Nel "Problema II" (MU B 9) invece Kircher tratta il caso della permutazione con ripetizione, cioè con elementi uguali. Ecco due fra gli esempi prodotti da Kircher (MU B 3 e MU B 6), che in questo caso utilizza semplici lettere alfabetiche:


ORA OAR ROA RAO AOR ARO (senza ripetizioni)
AAAL AALA ALAA LAAA (con ripetizioni)

Esempio

In una cornice così prossima alle fumisterie magiche e cabalistiche non manca, naturalmente, la tavola con le dodici permutazioni del tetragramaton YHWH. [121]

Nel "Problema III" (MU B 10), leggermente più complicato dei precedenti, Kircher calcola le permutazioni all’interno di una classe in cui ci siano più di due ripetizioni (ad es. il gruppo di note DO RE MI RE DO, in cui ci sono due DO e due RE). [122] Segue la trascrizione completa delle 30 possibili permutazioni: in questo caso Kircher si dimostra inaspettatamente più sobrio di Mersenne, il quale ha esposto e trascritto con precisione le 720 possibili permutazioni dell’insieme di 6 note dell’exacordum mollis. [123] Il "Problema IV Combinatorium" (MU B 12) esamina un’ulteriore estensione della permutazione non con un solo ma con più elementi ripetuti.

La serie degli "Exempla varia in vocem novem notarum" (MU B 12-13) è stata copiata integralmente, errori compresi, da un’analoga serie di esempi fornita da Mersenne: [124] si veda in Appendice IV.

Kircher ha affrontato con relativa facilità i problemi legati alle permutazioni: le cose ebbero a complicarsi sensibilmente, quando egli si pose il problema di calcolare quante volte un certo numero di note tratto da un insieme più ampio di note potesse essere variamente disposto, cioè, più semplicemente, scelto. [125] Nella fattispecie l’insieme di partenza era dato dalle ventidue note della Scala Guidonis, cioè da tre ottave complete sovrapposte. Passo dopo passo, Kircher mostrò quante volte all’interno di questo intervallo potessero essere tratti gruppi di due, tre, quattro, ..., ventidue note. Anche questa tavola, che si trova a pagina 15 del II tomo della Musurgia Universalis , è copiata da Mersenne. [126]

Il numero di combinazioni possibili è enorme anche in questo caso: ad esempio si possono scegliere 175.560 diversi gruppi di cinque note in un insieme costituito da tre ottave complete; se invece sempre da questo insieme volessimo trarre otto note diverse, potremmo scegliere fra quasi tredici miliardi di possibilità. Considerazioni simili a questa ricorrono frequentemente nelle pagine di Kircher: in ogni suo passo e quasi in ogni riga, la "Musurgia Combinatoria" mostra un atteggiamento che possiamo senza dubbio definire "ingenuo".

Il "Problema VI Universalissimum" è un approfondimento del "Problema" precedente, perché ora vengono anche considerate le ripetizioni. [127] I risultati dovrebbero essere mostrati dalla tabella di MU B 18 in Appendice VI, ma i risultati tuttavia sono quasi tutti sbagliati: [128] Kircher mostra di non trovarsi molto a suo agio nella trattazione di questo particolare argomento, raggiungendo livelli notevoli di nebulosità.

4.5 Caput II. De combinatione valoris notarum

In questa seconda parte della sezione Kircher scelse un punto di vista più pertinentemente musicale, e considerò come variabile anche la durata delle note: in quattro brevi capitoletti egli ebbe modo di affrontare anche la questione della polifonia. Egli esaminò le possibilità combinatorie determinate dalla sovrapposizione di più voci tutte soggette ai vari tipi di manipolazione esposti in precedenza: egli dapprima considerò solo la diversità di situ (permutazioni), poi la diversità di valore (disposizioni) e quindi entrambe. Le cifre risultanti crescono a dismisura perché non viene interessata una sola ma due, tre e anche quattro voci: in quest’ultimo caso i risultati sono pressochè inconcepibili e non rapportabili a misure umane.

Nel "Problema I" Kircher partendo da un certo numero di note cercò di calcolare quante volte una ben precisa disposizione del loro insieme potesse essere elaborata assegnando via via a ciascuna di esse due (oppure tre, quattro, cinque) valori temporali diversi. [129]

Kircher, ottenute le mutationes variando i valori delle note le pone in relazione con il risultato delle mutationes ottenute permutando le note, così come ha mostrato nei precedenti sei "Problemata". Egli raggruppa il tutto in una "Tabula universalis" (MU B 22). [130] Si veda la trascrizione in Appendice VII.

La "Tabula Universalis" viene spiegata e se ne mostrano sommariamente gli utilizzi pratici nel "Problema II" (MU B 23-24). Inoltre, come introduzione alla materia dei successivi esempi, Kircher inserisce un breve "Lemma" nel quale spiega in modo estremamente empirico la tecnica dell’elevazione a potenza.

Più le cose si complicano, più Kircher si fa sbrigativo: negli ultimi quattro brevi capitoletti affronta in modo estremamente sbrigativo la questione della polifonia, cioè le possibilità combinatorie che scaturiscono dalla sovrapposizione di più voci tutte soggette ai vari tipi di permutazione e variazione esposti in precedenza. Egli dapprima considera solo la diversità di situ (permutazioni), poi la diversità di valore (variazioni) e quindi entrambe. In più le combinazioni crescono a dismisura perché non viene interessata una sola voce ma due, tre e anche quattro voci: in quest’ultimo caso si ottengono cifre pressochè inconcepibili, poiché il risultato finale è dato dal prodotto di tutti i risultati parziali relativi alle permutazioni e disposizioni di ciascuna voce.

Infine Kircher esamina infine le possibili combinazioni di note che possono scaturire dalla combinazione dei diversi tipi degli intervalli di quarta, quinta e ottava. [131]

4.6 Considerazioni

Nella "Musurgia Combinatoria" Kircher non si mostra all’altezza della propria fama: [132] né come matematico ed erudito né tanto meno come filosofo inserito nel filone della rinascita dell’ars magna. Tanto l’aspetto teorico, quanto l’aspetto filosofico in senso lato esulano totalmente dalla cornice della "Musurgia Combinatoria". Kircher nella fattispecie mostra di interpretare la ars combinatoria in un modo semplicistico, attento solo agli aspetti più "meravigliosi" della peculiarità di generare grandi numeri.

L’approccio di Kircher sembrerebbe mostrare un limite intrinseco: colto dalla vertigine dei grandi numeri di combinazioni ottenibili all’interno di un insieme di note, egli ignorò del tutto la considerazione qualitativa nei confronti dei prodotti di tale sconfinata potenza poietica. Questo risulta ancor più evidente se confrontiamo il nostro autore con Mersenne. Abbiamo già visto come egli si pose nei confronti di "come sia possibile scrivere la miglior melodia possibile". [133] Mersenne puntualizzò che, sebbene sia necessario utilizzare l’ars combinatoria per ottenere tutte le melodie possibili da un certo numero di note stabilito in precedenza:

Celuy qui demonstrera quel est le plus excellent & le plus agreable de ces 720 chants, & l’ordre chacun doit tenir suiuant leur douceur & leur bonté, enseignera ce que l’on ignore, & apportera de nouvelles lumieres à l’Harmonie. [134]

La scelta è sempre una questione umana giocata su considerazione di carattere musicale, conclude Mersenne. Kircher non contemplò nella musurgia mirifica questo lato riflessivo, e si trattò a mio giudizio di una precisa scelta: egli riteneva che la bellezza di una composizione consistesse nell’esatta rispondenza alle regole della symphoniurgia, termine traducibile come "arte di forgiare la musica", sinonimo di "composizione musicale", che al livello elementare della musurgia mirifica consisteva nel concatenamento di accordi, come abbiamo visto. Un materiale musicale di base corretto e rispondente a determinati canoni estetici e stilistici era quindi, per Kircher, suscettibile di essere aggregato variamente secondo una metodologia combinatoria: tutte le varianti ottenibili da tale Ur-materiale musicale ne avrebbero posseduto in egual misura i valori di correttezza. Sarebbe stata dunque del tutto marginale ogni considerazione di tipo estetico nei confronti degli innumerevoli prodotti di tale operazione. In Kircher la scelta non sussisteva a posteriori ma restava a monte della composizione: l’uso della combinatoria non comportava quindi che venisse posto in discussione ogni volta l’assetto del brano ottenuto.

Nelle mani di Kircher e nel contesto della Musurgia Universalis , l’ars combinandi si era trasformata: da ars inveniendi veritatem era diventata uno strumento neutrale che consentiva di produrre musica. [135]


[103 Si veda Paolo Rossi, Clavis Universalis. Arti mnemoniche e logica combinatoria da Lullo a Leibniz, Bologna, il Mulino 1983 (1a ed. Milano-Napoli, Ricciardi, 1960), pp. 179-200.

104 Eberhard Knobloch, "Musurgia Universalis: Unknown Combinatorial Studies in the Age of Baroque Absolutism", in History of Science, XXXVIII (1979), pp.258-275 (ora anche ]passim[ in: AA.VV., La musica nella rivoluzione scientifica del Seicento, a cura di Paolo Gozza, ]op. cit. [, pp. 111-125). §COUMET,....§

105 Paolo Rossi, Clavis Universalis, op. cit., pp. 211-219.

106 Vedi Cesare Vasoli, "Considerazioni sull'½Ars Magna Sciendi"", in AA.VV., Enciclopedismo in Roma barocca, Roma, Marsilio, 1986, pp. 62-77.

107 Oltre al testo di Paolo ROSSI, vedi al riguardo Frances Yates, The Art of Memory, London, Routledge & Kegan Paul, 1966 (tr. it. di Albano Biondi, L'arte della memoria, Torino, Einaudi, 1972); id., Giordano Bruno and the Hermetic Tradition, London, Routledge & Kegan Paul, 1964 (tr, it. di Renzo Pecchioli, Giordano Bruno e la tradizione ermetica, Bari, Laterza, 3a ed., 1985).

108 Athanasius Kircher, Ars magna sciendi, In XII Libros Digesta, qua nova et universali Methodo Per Artificiosum Combinationum contextum de omni re proposita plurimis et prope infinitis rationibus disputari, omniumque summaria quaedam cognitio comparari potest, Amstelodami, Apud Joannem Janssonium a Waesberge et Viduam Elizei Weyerstraet, 1669.

109 Raimondo Lullo (circa 1232-1316) elaborò una "ars inveniendi veritatem" che avrebbe dovuto permettere di formulare affermazioni vere con un processo razionale per mezzo di diagrammi combinatori. Partendo dalla teoria degli elementi, secondo la quale ogni cosa nella natura era composta dal graduato combinarsi di terra, aria fuoco e acqua, fondò la sua ars attribuendo importanza ai nomi o attributi del divino, che egli chiamò "dignitÓ" e rappresentò con lettere dell'alfabeto disposte su cerchi concentrici rotanti; la combinazione fra la sfera degli elementi (ABCD) e quella delle dignità (BCDEFGHIK) avrebbe permesso di formulare in modo sintetico ogni possibile riflessione.

110 Le permutazioni di lettere e la numerologia erano alla base di molte speculazioni dei cabalisti: le lettere dell'alfabeto contengono il nome di Dio; il cabalista Avraham Abulafia (1240- post 1292) sviluppò una tecnica di meditazione basata sulla infinita combinazione e permutazione delle lettere dell'alfabeto. Questi argomenti affascinarono numerosi pensatori rinascimentali (si pensi a Pico della Mirandola) e certo non furono indifferenti a Kircher. Per un inquadramento della materia si vedano: Gershom SCHOLEM, Kabbalah, Jerusalem, Keter, 1974 (tr, it. di Roberta Rambelli, La cabala, Roma, Mediterranee, 1982, 495 p.); Frances Yates, The Occult Philosophy in the Elizabethan Age, London, Routledge & Kegan Paul, 1979 (tr. it. di Santina Mobiglia, Cabbala e occultismo nell'età elisabettiana, Torino, Einaudi, 1982, 240 p.); id., The Rosicrucian Enlightenment, London, Routledge & Kegan Paul, 1972 (tr. it. di Metella Rovero, L'illuminismo dei Rosa-Croce, Torino, Einaudi, 1976, XXX+318 p.).

111 Marin Mersenne, ]Harmonie Universelle [, contenant la theorie et la pratique de la musiqve, Paris, Chez Sebastien Cramoisy, 1636 (Edition facsimilé, Paris, Editions du Centre National de le Recherche Scientifique, 1963), "Liure des chants", "Proposition IX", p. 110.

112 Magia universalis Naturae et Artis, sive Recondita Naturalium et Artificialium rerum scientia, cuius Ope per variam Applicationem activorum cum passivis, admirandorum effectuum Spectacula, abditarumque inventionum Miracula ad varios humanae vitae ususeruuntur. Opvs qvadripartitum. Pars I continet Optica. II Acoustica, III Mathematica. IV Physica, Tomus I, Herbipoli, excudebat Henricus Pigrin, 1657, 4°, 538 p., Pars II, Herbipoli, excudebat Jobus Hertz, 1657, 432 p., Pars III, Herbipoli, excudebat Jobus Hertz, 1658, 4°, 815,p., Pars IV, Herbipoli, sumptibus Haeredum Joannis Godefridi Schönwetteri, 1659, 4°, 670 p.

113 Christophorus Clavius (1537-1612) fu una delle principali fonti degli studi sulla combinatoria nel Seicento: importante fu il suo In sphaeram Joannis de Sacro Bosco commentarius, pubblicato a Roma nel 1585.

114 Marin Mersenne, ]Harmonie Universelle [, op. cit.. Le parti che si riferiscono all'argomento in questione si trovano nei libri "De la voix" ("Traitez de le Voix et des Chants", pp. 1-88), "Des chants" (idem, pp. 89-180) e "Des orgues" ("TraitÚ des instruments a chordes", pp. 309-412).

115 Eberhard KNOBLOCH, "Musurgia Universalis, Unknown Combinatorial Studies in the Age of Baroque Absolutism", op. cit., pag. §§

116 Caspar Schott, Magia Universalis, p. 622-626, si riferisce espressamente ai problemi di questa parte della "Musurgia Combinatoria", mettendone in luce gli errori e forrnendo delle tabelle corrette

117 Per tutte le questioni di ordine prettamente matematico abbiamo fatto riferimento a P. BARAGGIO e N. NAVA, Elementi di probabilità statistica, Milano, Hoepli, 1987.

118 Marin Mersenne, ]Harmonie Universelle [, op. cit., "Traitez de le Voix et des Chants", p. 108.

119 La ristampa anastatica dell' ]Harmonie Universelle [ è stata condotta sulla copia, conservata nella Bibliothèque des Arts et Métiers, che fu in possesso di Mersenne, e venne da lui riccamente annotata (François LESURE, "Introduction", in: Marin Mersenne, ]Harmonie Universelle [, op. cit., p. VII).

120 Le due tabelle sono trascritte in Appendice II e III; i valori errati (che in questo caso coincidono con gli errori di Mersenne) sono in corsivo.

121 Per il tetragramaton ed il suo valore vedi: §§.

122 La formula è: n!/(K! z!), dove n indica il numero complessivo degli elementi della classe e k e z indicano il numero degli elementi ripetuti.

123 Marin Mersenne, ]Harmonie Universelle [, op. cit., pp. 117-128.

124 Marin Mersenne, ]Harmonie Universelle [, op. cit., p. 130.

125 In termini tecnici, si tratta di "disposizioni semplici di classe k di un numero n di elementi", con la formula Dn,k= n(n-1)....(n-k-1). Dove n indica il numero complessivo degli elementi che compongono la classe in esame e k indica il numero degli elementi scelti per la disposizione.

126 Marin Mersenne ]Harmonie Universelle [, , op. cit., "Liure des Chants", p. 132.

127 Per la precisione sono "disposizioni con ripetizione di classe k di n elementi". La formula è Dn,k = nk.

128 Eberhard KNOBLOCH, "Musurgia Universalis', Unknown Combinatorial Studies in the Age of Baroque Absolutism", op. cit., n. 32, p. 273, sostiene che anche questa tavola è mutuata da Mersenne, ma "Kircher] apparently did not understand what Mersenne really intended by this table".

129 Si tratta nuovamente delle disposizioni senza ripetizioni: in questo caso n indica il numero di note in questione e k il numero diverso di valori che esse possono assumere.

130 La prima colonna mostra le permutazioni di note situ differentes, la seconda le disposizioni di note valore differentes; la terza colonna (i cui valori sono il prodotto dei valori della prima con i valori della seconda colonna) mostra le mutationes di note situ & valore differentes.

131 Kircher in questo caso non considera la diversità fra tono grande e tono piccolo peculiare della scala zarliniana: le specie degli intervalli in questione sono determinate unicamente dalla posizione del semitono.

132 Nell'epistolario di Kircher è conservata una lettera di Leibniz che, in data 16 maggio 1679, chiedeva da Magonza lumi ulteriori sulla combinatoria kircheriana. Rivolgendosi a Kircher apostrofandolo come vir magnus e incomparabilis, Leibniz osava sollecitarne il giudizio in merito alla propria opera su tale argomento, la Dissertatio de arte combinatoria pubblicata a Lipsia nel 1666, "poichþ non vedo nessuno che pi¨ di Te abbia penetrato i misteri dell'arte combinatoria". Kircher rispose da Roma il 23 giugno di quello stesso anno: si limitò a fornire considerazioni di carattere generale; per quanto riguardava il volume di Leibniz, poi, non aveva ancora avuto modo di leggerlo. Si veda Paul Friedländer, "Athanasius Kircher und Leibniz. Ein Beitrage zur Geschichte der Polyhistorie in XVII Jahrhunderts", Atti della Pontificia Accademia Romana di Archeologia, Serie III, Rendiconti, XIII (1937), pp. 229-247.

133 Marin Mersenne, ]Harmonie Universelle [, op. cit., "Livre des Chants", "Proposition VII", p.103.

134 Marin Mersenne, ]Harmonie Universelle [, op. cit., "Livre des Chants", "Proposition IX", p. 110.

135 parti espunte da inserire: "Non va comunque trascurato il risvolto scientifico di tale corrente di pensiero: alcuni matematici appartenenti all'Ordine come Caspar Schott [Per la trattazione dei problemi combinatori faremo riferimento soprattutto a: Caspar Schott, Magia universalis Naturae et Artis, op. cit., ed in particolare al terzo tomo "Magia Mathematica".] (già allievo di Kircher), Christophorus Clavius e Paul Gauldin dedicarono ampio spazio alla trattazione in termini matematici del problema delle "combinazioni". l'Ars Magna Sciendi.[Athanasius Kircher, Ars magna sciendi, In XII Libros Digesta, qua nova et universali Methodo Per Artificiosum Combinationum contextum de omni re proposita plurimis et prope infinitis rationibus disputari, omniumque summaria quaedam cognitio comparari potest, Amstelodami, Apud Joannem Janssonium a Waesberge, et Viduam Elizei Weyerstraet, 1669.] avrebbe dovuto contenere, a detta di Schott,[Caspar Schott, op. cit., p. 408: a pagina 406 Schott afferma anche che Kircher "longe aliter ac facilius se eam dispositurum, non per multas tabulas, sed per paucas rotas in gyrum mobiles".] l'esposizione dei fondamenti teorici che reggono la costruzione della ]musurgia mirifica [: vi si trovano invece solo vaghi accenni.[Della Ars magna sciendi potrà interessare soprattutto il quarto libro, "Ars Combinatoria", pp. 156-204.] ]